從堆疊立方體到探索概念：一段繽紛有趣的數學教學旅程
汪博士認為，沒有學生是沒能力學習的；反而是有些教師還沒有找到指導學生學習的正確方法。
汪博士發現，研究怎樣教導智力障礙的學生學習數學，既具挑戰性又有滿足感。它不斷激勵她更深入地了解學生的學習困難，從而制定更有效的教學策略。
我們讓學生自己製作彈簧秤。 把一條紙條貼在彈簧秤的一邊，並劃上零標記，以顯示指標處於靜止狀態，沒有添加重量。 然後把相同重量的單位物件逐一放入秤上，每添加一次，秤的指標會被向下拉動，我們就在紙條上劃上標記，以標示指標下降的長度。 透過這個簡單的活動，學生們掌握了秤上重量標記的含義。
打從我還是中學生，便一直夢想成為一名數學教師。 2007年左右，我即將從上海的一間中學畢業，這個夢想推動我申請了香港教育大學的教育學士學位課程，主修小學數學。在數學與資訊科技學系內，我第一次接觸到「數學化教學」這個精彩的想法。簡單地說，它是一種教學方法，強調學習者自己經歷數學概念的發現和構建，而不是將它們僅僅看作是成品來運用。
為了加深對「數學化教學」的理解，我決定在畢業專題研究中探索這個教學理念。我知道學系裡的馮振業博士是該領域的專家，於是請他指導我撰寫專題研究的提案。雖然馮博士不是我的專題研究導師，但他毫不吝嗇地花時間教導我數學教學的基礎知識，並給我介紹了各種以數學化過程為重點的教學設計。為表答謝，我每隔兩周會代表他前往珠海的一所小學，與那裡的教師分享我新學到的「數學化教學」知識。
在數學與資訊科技學系本科學習的最後一年，我每隔兩周會去到珠海一所小學。在照片中，我向學校教師示範如何運用「數學化教學」於除法的教學。
我接過「數學化教學」社群晉升隊目的證書。馮博士（左）是社群的創始人；而胡志女士（右）則是社群的一位重要領袖，亦是其中一位最資深的成員。「數學化教學」社群是一個為本地數學教師而設的互助社群，透過推動數學化教學而提高本地數學教學的質素。該社群已有26年歷史。
我自教大畢業後很幸運地在香港的一所小學找到了教職。此外，在學校的特別安排下，我有機會在短短三年內給小學全部六個年級教授數學。教授整個小學數學課程的經驗非常珍貴，在我以後的研究和學術職涯的各個階段，這份經驗都給我很多幫助。
我在小學任教了三年後，得知馮博士要找一名具有前線教學經驗的研究助理，協助他進行一個新項目，為有特殊教育需要（SEN）的學生開發教學設計和資源。由於我已經教了三年數學，而且在任教的小學教過SEN學生，馮博士認為我是合適的人選，問我有沒有興趣加入他的新研究計劃。
馮博士與我在2017年馬來西亞古晉第二屆特殊教育國際會議上，就教授智力障礙兒童學習數學的有效方法報告我們的研究所得。
我與馮振業博士在一場介紹西方三角學及其與明清中國數學家首次相遇的研討會後合影。研討會由香港理工大學應用數學系和香港數理教育學會舉辦。
我渴望更深入地了解數學教育，這促使我接受了馮博士的邀聘，儘管這意味著放棄一份有保障的工作。為了深入觀察SEN學生怎樣學習，我們與一所小學合作，該小學將大約十名學習進展較慢的學生集中在一班，並指派一位教師指導他們。我以研究助理的身分，花了兩年時間觀察這些學生是如何學習數學的。我記錄他們的學習進度，並協助教師修改課程和優化教學材料，以便更好地滿足他們的需要。最重要的是，我非常詳細地觀察了為什麼有些學生學得困難，以及不同的教學法和材料如何影響他們的學習成果。
完成了SEN學生這個研究項目後，馮博士和我有機會把我們的研究擴展至特殊學校。我擔任計劃顧問，與這些特殊學校的教師一起工作，為智力障礙的學生開發學習材料。在這些年裡，我還有機會參與涉及少數族裔學生的項目，他們的母語與學校的官方教學語言不同，這些學生與有言語和語言障礙的學生有著相近的學習困難。
透過這些觀察，我發現我在教育哲學方面與著名的荷蘭數學家和教育家漢斯 · 弗賴登塔爾(Hans Freudental)非常相似。我們都非常重視了解學生學習困難背後的「原因」。
他寫道：
過去，醫學診斷旨在說明甚麼地方出錯了，所謂的教育診斷測試也是一樣。真正的診斷會告訴你為什麼出了問題，了解這一點的唯一方法是觀察孩子的失敗並嘗試理解它。這方法所費不菲。 （頁 135）（弗賴登塔爾（1981 年）：〈數學教育的主要問題〉《數學教育研究》12（2），133-150 ）
我想舉一個例子來說明這一點。
我用大小一致的小立方體來教導學生如何計算體積。
一名學生專注投入手作活動，運用大小一致的立方體找出盒子的體積。為了記錄學習成果，學生在把小立方體堆疊成立體時，需要做出觀察並填寫工作紙。
我常使用小立方體來教導學生如何計算立體物件的體積，那些小立方體大小一致，把它們並排放置，形成了一個長方體。它長A個小立方體，闊B個小立方體。因此，矩形底的面積是A × B。 當小立方體只有一層時，體積為A × B × 1。當加上第二層小立方體後，長方體的體積則是A × B × 2 。重覆這動作來增加長方體的層數，到了最後，如果我們堆疊了C層，長方體體積便是A × B × C。即是說，長方體的體積等於其闊度×長度×高度。
在一堂課上，我注意到一個少數族裔學生對這公式感到困惑。當我試圖了解她的困難時，她顯示出不確定每一層是否包含相同數量的小立方體。為了幫助她，我鼓勵她自己堆疊並數算每一層的小立方體的數量。當她這樣做的時候，她發現每一層確實擁有相同數量的小立方體。逐漸，她學會了通過計算長度、寬度和高的乘積來求出長方體的體積。
作為教師，我們需要認識到，我們視為理所當然的事實對學生來說可能並不顯而易見。
人們常說教學相長。這次經歷也讓我有所收穫。作為教師，我們需要認識到，我們視為理所當然的事實對學生來說可能並不顯而易見。我們必須放下自己的假設，敏感地識辨他們在學習中的障礙。這次經驗應證了弗賴登塔爾的方法：透過觀察學生的掙扎，並主動地去理解他們的困難，我們就可以調整教學的方法，以適應數學教學中的所有學生。
作為一名教師，我的學生們常常給我帶來靈感和鼓勵。我記得有一次，我協助一位教師教一名中度智力障礙的學生學習數數。由於這位學生幾乎無法為不同的數字發出清晰的聲音，這對我們評估學生的學習進度和我們教學方法的有效性帶來挑戰。項目啟動一年半後的一天，他的教師給我發了一段視頻，視頻中這位學生在數數時能發出可辨認的聲音！我能感受到他的教師在與我分享學生的成就時是何等欣喜。見證這位學生的堅持不懈讓我深受感動；而他的進步證明了，耐心和針對學生的需要而度身定制的教學方案的力量。
這經驗與弗賴登塔爾對教育的反思產生了共鳴：
「好的胃能消化所有食物；而敏感的胃則更能告訴我們食物是好是壞......（在別無其他檢定教學方法的判準下）智力遲鈍兒童的反應肯定仍是一個極佳的標準。」（頁72）（La Bastide-van Gemert，S.（2015）：《All positive action starts with criticism: Hans Freudenthal and the didactics of mathematics》 出版社：施普林格)
我剛完成博士學位的論文口頭答辯。照片中各人是我的導師和考官，由左至右分別是：徐美彩博士、凌萬豪博士、我、冼權鋒教授、梁景信博士和莊程教授。
為教書而教人，為教人而教書
弗賴登塔爾的話提醒我們，學生的反應——特別是那些面對學習挑戰的學生——是衡量我們教育工作是否奏效的寶貴指標。兩年前，我在數學與資訊科技學系完成了我的博士學位，後來更成為其教學團隊的一部分。從那時起，我肩負著更大的責任，得把幾代數學教育工作者傳下來的接力棒承傳下去。我記得馮博士曾經告訴我，「為教書而教人，為教人而教書」（此句源自馮振業博士的恩師蕭文強教授）。對於以傳授知識為主要目標的教育工作者來說，數學是學習的核心；然而，對蕭教授和馮博士來說，學生才是整個教育過程的核心。
與其責怪學生未能學會，我會問自己是否以及如何能充分理解他們的困難，以找出培養他們的最佳方法。回想起我過去種種難能可貴的學習經歷，都源自我的老師們為我提供的機會和支持。像馮博士般敬業樂業的數學教育家所傳授的智慧，以及同事的忠告，塑造了今天的我這個教育工作者。我很慶幸先在數學與資訊科技學系修讀本科，後來成為了學系裡的研究員和博士生，現在又以教師的身分在本系貢獻所長。我對所有我教過，遇上過的學生尤其感激；他們在學習數學時向前邁出的每一步都是給我的莫大鼓勵。
註：汪滌塵博士擁有數學教育博士學位，是小學數學教育和特殊教育跨學科研究的專家。她憑藉豐富的前線教學經驗，協助校本數學課程的開發，並於本地主流和特殊學校的教師專業發展項目中貢獻專業知識。
汪博士的主要研究興趣在於為數學學習發展有效的教學設計，特別是針對有特殊教育需要的學生。她是一個名為「數學化教學」的本地專業教師社群的活躍成員，常與教師和教育工作者合作，交流數學教學的心得和實踐經驗。
(中文翻譯：李婉霞；整理：汪滌塵博士)
